Protingieji kolegos, reikalinga šioka tokia jūsų pagalba. Turiu "quasillinear production function", kuri atrodo Q=L^1/2+K. Man reikia surasti firmos išlaidų/kainų funkciją (total cost function). Iš manęs matematikas tikrai ne stebuklingas, bet tiek langranžinant, tiek sprendžiant per marginal productivities gaunu bėdą tokią, kad dQ/dK=1, taigi negaliu gauti ir optimalaus L, kurį galėčiau įsistatyti į išlaidų funkciją. Gal kokių pasiūlymų būtų ? Googlint iki pažaliavimo bandžiau, bet tikrai įmanomas variantas, kad kažką praleidau.
Pabandžiau padaryt bendrus atvejus Leontief, Cobb Douglas ir paprastos linijinės funkcijos, tai viskas gaunasi labai tvarkingai ir kaip turėtų gautis, o čia kažkas ne taip :|
Iš anksto dėkui.

P.S. Jau įsivaizduoju, kaip Petras įbėgęs klykia ant manęs, kad aš matai debilizmus-aglicizmus rašinėju. Deja, net neįsivaizduoju, kaip daugelis šitų terminų lietuvių (ar bet kokioje kitoje) kalboje oficialiai atrodo, taigi rašau taip, kaip moku. Pabandžiau kiek galima sulietuvinti

ir kazkurioj temoj neseniai rasei, kad zinios tavo daug aukstesnio lygio negu tavo pazistamu Lietuvoje studijuojanciu.. juokai zodziu. Kaip speju, esi pirmakursis ir mokais mikroekonomika

Tiesą pasakius antrakursis, ir taip, čia mikro. Nors nebuvo sakinio "daug aukštesnio lygio", bet žinios tikrai skiriasi. Būk geras, sutriuškink mane ir įrodyk, kad bet koks Lietuvos studentas šitą viens du ir padarytų. Būsiu tikrai nuoširdžiai laimingas dėl daugelio priežasčių. Jeigu negali išspręst, arba gali, bet dėl kažkokių įsitikinimų/priežasčių to vistiek nedarysi, tuomet nerašyk čia, o tiesiog parašyk savo nuomonę ar panašius į pirmą komentarą atsiliepimus apie mane man į PM. Bus, manau, visiem geriau. Ačiū !


Dar prieš eidamas miegot prirašysiu, ką sugalvojau. Labai jau "datempta" versija, žinoma, bet nieko geriau kol kas neišmasčiau. Gal bent į tą pusę taikau :}

Taigi, išsivedam marginal productivities, gaunam K*=Q-r/2w . Tada, dėl to, kad marginal productivity of capital=1, ir dėl to, kad čia turim quasillinear funkciją, parašau, kad L*=Q^2. Susimetu šitas reikšmes į savo Total Cost C(q)=wL*+rK*, gaunu, kad antro lygio išvestinė, nepriklausomai nuo q reikšmių yra teigiama (C''(q)=2), taigi darau išvadą, kad funkcija yra convex (net neįsivaizduoju, kaip tai lietuviškai turėtų skambėt) ir pridedu, kad tai puikiai sutinka su faktu, kad funkcija rodo "decreasing returns to scale".

Tai trumpai maždaug taip ir atrodo. Tikrai būtų puiku, jei kas parodytų, kur nesąmonių pridariau/prirašiau ir pataisytų

Lygiai ta pati darem pirmam kurse. Na ir sprende normaliai visi, kokia cia ziniu praraja? jokios.. o spresti reik labai paprastai, pernelyg negudraujant: MPl/MPk=w/r, marginal products (ribinius produktus) randam kaip dalines isvestines ir istatom i ta kastu funkcija (jei cia viskas tik raidelem). Daugiau nezinau, ka bepridet, nebent salyga kazkaip kitaip suformuluota.
O siaip, del to jau lygio ziniu, tai nereiskia, kad jei tavo pazistamu ziniu lygis mazesnis, kad ir visu kitu toks pat: pas mane kurse yra tokiu, kurie mazai suvokia, kas yra ekonomika, o kiti sugeba tyrimus daryt. Tai tokie dalykai priklauso nuo zmogaus ir tokie pareiskimai, kaip tavo buna tikrai neteisingi. Jei mokeisi statistika, tai turetum zinot, kad pasinaudojai patogiaja imtimi

O atsakymo nėra?.. Aš gaunu rQ-r^2/(4w), bet ekonomikos teorijos nei Lietuvoj, nei užsieny taip ir neišmokau, tai negaliu garantuoti, kad mano atsakymas teisingas. Dariau pagal: nuoroda Nors jei užduotyje yra pabrėžta, kad reikia trumpo laikotarpio kaštų funkcijos, tai mano variantas netinka.

Kadangi matematikė iš manęs ne pati blogiausia, pakomentuoti galiu patį optimizavimo procesą. Nelabai suprantu, kam Tau šiuo atveju tie Lagranžo daugikliai, kai apribojimas yra su lygybe: tiesiog išsireikšk K ir įstatyk į tikslo funkciją. Nežinau, kaip veikia tas ribinio gamybos masto (marginal productivities) metodas, bet bent jau iš pirmo žvilgsnio keistai atrodo, kad ieškai optimalaus L, bet diferencijuoji pagal K...

Dėl terminų, jei norėtum išmokti ir kitomis kalbomis :
quasillinear production function - kvazitiesinė gamybos funkcija
marginal productivity - (?) ribinis gamybos mastas
paprasta linijinė funkcija - tiesinė funkcija
convex - išgaubta(s)
concave - iškila(s)
decreasing returns to scale - (?) mažėjanti gamybos masto grąža

Karolina dėkui už pagalbą, bet, pirmiausia, šitam atsakyme kaip ir dingsta L* iš funkcijos, nes čia tu įsistatei tik K*. Tavo duotas pavyzdys yra vienas iš daugelio to paties uždavinio sprendimo būdų. Langranžą galima taip pat sėkmingai šitoj užduotį taikyt, tai yra, minimalizuoti C s.t. Q. Bet čia neesmė Tai man yra kyla klausimas, kaip gauti L*. Nes teoriškai ilgo laikotarpio kaštų funkciją (atsiprašau, kad iš anksto nepaminėjau, čia ilgas laikotarpis), atrodo taip C(q)=wL*+rK* (kur L* ir K* yra optimaliausias kiekis L ir K). tavo atsakymą irgi gavau spręsdamas, bet su juo viena didelė bėda yra. Produkcijos funkcija rodo mažėjančią gamybos masto grąžą. Taigi, kaštų funkcija turėtų būti kaip ir išgaubta. Bet jei gaunam C(q)=rQ-r^2/4w , kur vienintelis kintamasis yra Q, tai šita funkcija yra tiesinė. O taip tikrai neturėtų būti. Nebent čia kažkokia kvazitiesinės funkcijos savybė.
Jarver, ačiū už pagalbą ! Deja MPl/MPk=w/r suradęs ir įsistatęs tiesiai į kaštų funkciją gausi ISOCOST line, o ne kaštų funkciją. Šitie dalykai skiriasi. Ir jei būtum nepatingėjęs perskaityt, ką parašiau ir netgi pabandęs parašinėti, kas gaunasi, turbūt būtum netgi pastebėjęs, kad ne viskas taip jau gražiai susidėlioja. Na nebent suradai ISOCOST'ą, tada čia viskas švariai gaunasi. Tik, kad neprašo jo rasti.
Trečią kartą pasikartosiu. Teoriškai kaip rasti, žinau. Su Cobb-Douglas funkcija- viskas puikiai ir švariai gaunasi. Vienintelis klausimas rimtas iškyla, kaip susirasti optimalų L kiekį. Nes šitoj funkcijoj MPl/MPk=1/2(L^(-1/2))/1. Taigi, nėra K, nėra kaip K įsistatyti į produkcijos funkciją, nėra kaip rasti optimalaus L. Ką praleidžiu ?

P.S. Jarver, žinok, jei nepatingėtum PASKAITYTI, ką žmonės rašo ir atsiriboti nuo subjektyvaus jų žodžių interpretavimo, turbūt ir pačiam būtų geriau. Eik tu man nukopijuok, kur aš pasakiau, kad už visus Lietuvos studentus viską geriau moku, nes studinu UK. Elementaru, kad ten kalbėjau apie pažįstamų ratą (nes su visais studentais susipažinti ir pabendrauti akivaizdžiai negalėčiau), kaip ir paminėjau, jog aš mokslams nemažai laiko skiriu (kitaip sakant, kiti gali mokėti mažiau, nes mokosi mažiau). Esu visiškai tikras, kad yra ne vienas ir ne penki studentai Lietuvoje, kurie šitus dalykus išmano geriau negu aš. Nes tai būtų logiška. Tačiau iš tavo pusės, pasiremiant mano nesugebėjimu išspręsti uždavinio (kurio atsakymo iš tavo pusės vis dar nematau), įrodinėti, kad aš žinau mažiau yra truputėlį nelogiška. Galėjai pasirinkti milijoną geresnių kelių šitam įrodymui (jei toks tavo pagrindinis tikslas šitoje diskusijoje) ir gauti tikrai tvirtai paremtas išvadas.

Į tikslo funkciją įstačiau K, tada optimizavau pagal L, gavau L* ir iš apribojimo K*, kuriuos įstačiau vėl į kaštų funkciją ir gavau galutinę išraišką. Jeigu darei kaip aš ir gavai tą patį, ką aš, tiesiog negali būti, kad neskaičavai L*! Surašysiu pažingsniui:
1. min_L rK+wL su apribojimu Q=L^1/2+K
2. Iš apribojimo K=Q-sqrt(L)
3. Įstatau: min_L r(Q-sqrt(L))+wL
4. Būtinoji optimizavimo sąlyga: -r/(2sqrt(L))+w=0 => L*=r^2/(4w^2) - optimalus L!
5. L* ir K*=Q-sqrt(L*)=Q-r/(2w) įstatau į rK+wL ir gaunu rQ-r^2/(4w)

Taip, teoriškai gali perrašyti Q-L^1/2-K=0, tikslo funkciją perrašyti į rK+wL+lambda*(Q-L^1/2-K) ir t.t. - bet ar tikrai nori save apsunkinti?! Aišku, jeigu žinai, kad išvestinė pagal lambda duoda tą pačią apribojimo lygtį, tai pasunkinimas nedidelis - bet taip tik išsvaistysi rašalą papildomai rašinėdamas lambda

Kalbant apie mažėjančią gamybos masto grąžą, pasižiūrėjau čia, tai, mano supratimu, viskas čia gerai... Mažėjanti gamybos masto grąža yra produkcijos funkcijos, o ne kaštų funkcijos savybė!

Saulut, čia L* būtų tuo atveju, jeigu turėtum Q tam tikram aukštyje, tai yra kapitalas būtų nustatytas. Esant ilgam laikotarpy, K juk gali keistis (kaip ir technologija), dėl to ir Q aukštis nėra fiksuotas. Tu taip randi man rodos kažkokią modifikuotą ISOCOST funkciją. Jinai rodo firmos kainas duotam gamybos apimčių lygiui. Man reikia bendros funkcijos Ir mažėjanti/didėjanti/nesikeičianti gamybos masto grąža yra produkcijos funkcijos savybė. Visiška tiesa. BET, ilgajam laikotarpį šie du dalykai yra susiję. Pridedu truputėlį per paintą papaišytų grafikų, pažiūrėk, bus aiškiau, apie ką aš. Nes priklausomai nuo to, kokia gamybos masto grąža apibrėžia produkcijos funkciją, tarpai tarp ISOCOST'ų (kainų tam tikram outputui) didėja/mažėja/nesikeičia. O būtent optimalūs K ir L kiekiai, kuriuos tam tikram aukštį ir nurodo taškas, kur produkcijos funkcija įvertinta tame aukštyje (ISOQUANT) liečiasi su ISOCOST, iš kur ir reikia išsivesti ilgojo laikotarpio kainų funkciją. Paveiksliukuose viskas aiškiau. Man rodos aš ten, kur rašiau, daugiau ar mažiau teisingai susidėliojau ir gavau. Reiktu tik patvirtinimo ar paneigimo

Į kaštų funkciją įeina ir L, ir K. Jei minimizuoji kaštus, tai gauni ir L* ir K*. Jei K gali keistis ir reikia L išraiškos, kaip keičiasi priklausomai nuo K, tai koks čia optimizavimas?.. Jei reikia išraiškos, kur K kinta ir Q nėra fiksuotas, tai: Q=L^1/2+K => L=(Q-K)^2... O jei nori, kad šitoj išraiškoj K būtų optimalus, tai kaip jis gali keistis? Nieko nebesuprantu

Gal gali parašyti, iš kokios knygos mokaisi ir kuris čia uždavinys? O jei uždavinys pateiktas atskirai, gal gali parašyti pilną formuluotę, ko klausia? O jei mokaisi ne iš knygos, duok nuorodą į paskaitų užrašus.

O kur Tu parašei L*=Q^2, tai gaunasi, kad K*=0, jeigu nori, kad galiotų duotoji gamybos funkcija Q=L^1/2+K. Ar nori pasakyti, kad duotoji gamybos funkcija negalioja kiekvienu laiko momentu arba ilguoju laikotarpiu?..

Pasižiūrėjau grafikus. Supratau, kodėl svarbi kaštų funkcijos forma. Kas kiekvienoj ašy atidėta?

Papildyta:
Suradau. x ašis yra L, y ašis yra K. O ta linija, kurią pavadinai Long run cost curve iš tiesų yra Expansion path (Plėtimosi kelias? Mūsų dėstytojas bendrą terminą tokio tipo kreivėms naudojo: izoklinalė/isocline, bet man nepatinka). Tavo atveju šis kelias yra L=r^2/(4w^2), t.y., x ašiai statmena tiesė taške r^2/(4w^2). Taigi svarbi ne kaštų funkcijos forma, bet būtent šito įmonės "plėtimosi kelio" forma. Teoriškai L=r^2/(4w^2) yra iškila (bet nėra griežtai iškila).

Ne uzdavinio neissprendimu remiuos, o tuo, kad pradzioje sakei, kad zinai daugiau (kad ir ne uz visus Lietuvos studentus, o tik pazistamus), veliau prasai padet (beje, tame nieko blogo nematau, tik kad tai priestarauja tavo pries tai issakytom mintim). Tad argumentas tavo buvo blogas pries tai pateiktas. O del uzdavinio, sakiau, kad tai mokiaus pirmam kurse, dabar reiketu prisimint ankstesnius dalykus siek tiek , laiko praejo nemazai. Siuo metu, rasau projekta ir negaliu tam skirti laiko.

Tikrai taip, pirmiausiai ten yra plėtimosi kelias, bet, bent kiek gerai atsimenu, tai yra ir kaštų funkcija ilgajam laikotarpiui. Ir turėtų šitas reikalas turėti f(q) formą. Tiesiog taip mąstant, juk tas kelias eina per kiekvieną trumpojo laikotarpio ekvilibriumą, kur ISOCOST tangent ISOQUANT. Kitaip sakant, jis eina per kiekvieną optimalų K ir L pasirinkimą, bet kokiame aukštyje Q, taigi ir pati funkcija atrodo kaip funkcija nuo gamybos apimčių skaičiaus, kuri yra lygi sudėtoms optimalaus K ir optimalaus L kainoms. Optimalios L ir K kainos priklauso nuo ribinių produktų ir algos, nuomos bei svarbiausiai nuo to, kiek firma pasirenka gaminti. Taigi, kaštų funkcija turėtų priklausyti nuo apimčių, taikant optimalius išteklių skaičius.

Nes tarkim, jei turim tą pačią Cobb-Douglas, F(K,L)=K^aL^b:
MPl=bK^aL^(b-1) MPk=aK^(a-1)L^b
MPl/MPk=w/r -> K=(awL)*(br)^(-1) ir L=(brK)*(aw)^(-1)
Q=(a/b)^a(w/r)^a(L^a+b) Q=(b/a)^a(r/w)^b(K^a+b)
L*=[Q^(1/a+b)][(b/a)^(a/a+b)][(r/w)^(a/a+b)] K*=[Q^(1/a+b)][(a/b)^(b/a+b)][(w/r)^(b/a+b)]
Is viso to:
C=wL*+rK*=[Q^(1/a+b)][(b/a)^((a-b)/(a+b))][(r/w)^((a-b)/(a+b))][w+r]
dC/dQ >0 (tingiu rasyt)
d^2C/dQ^2=[(1-a-b)/(a+b)^2][Q^((1/a+b)-2)][(b/a)^((a-b)/(a+b))][(r/w)^((a-b)/(a+b))](w+r)
Atidžiai pasižiūrėjus, šito reikalo ženklą nusprendžia būtent [(1-a-b)/(a+b)^2]. Apačia visad >0, taigi jei viršus >0, turim convex, jei <0, tai concave, jei =0, tai linear. O prisiminkim sąlygas returns to scale: increasing a+b>0, decreasing a+b<0, constant a+b=0. Akivaizdu, kad tiesiogiai susiję dalykai.
Taigi ir iš savo kvazilinijinės funkcijoj norėčiau gaut žmonišką C(q), kurios antro lygio išvestinė, diferencijuojant pagal Q, būtų >0.

Susiradau kažkokį darbą kur yra lyginamos quasi ir cobb funkcijos ir pasirodo, kad jų ir expansion path ir total cost funkcijos ir jų skaičiavimas iš esmės skiriasi. Taigi bandysiu išgalvot kažką naujo Ačiū, Karolina, kad padėjai.

Gal parašyk vis dėl to, pagal kokią knygą mokaisi

a+b>1 turbūt ir t.t.

Jei įdomu, gali pabandyti analogiškai išsivesti bendrai gamybos funkcijai F(K,L). Nežinau, ar gausi tą patį, ką Cobb-Douglas. Gal taip, gal ne...

O konkrečiu atveju, kadangi plėtimosi kelias yra statmena tiesė, tai arba kaštų funkcijos forma kitokia ir aš nemoku paskaičiuoti, arba plėtimosi kelias nėra kaštų funkcija...

Čia iš dėstytojo, ne knygos klausimas. Dėl to, kad paskaitų skaidrėse nebuvo šito atvejo, nusprendžiau, kad jei galioja Leontief ir Cobb, tai tiks ir šitam. Klydau Buvai tikrai teisesnė už mane šitoj diskusijoj, tikrai ač !

Nėr už ką! Esmė, nes kas teisus, kas ne, o kad galų gal aišku, kas ir kaip su tom funkcijom vyksta ;)

O tai knygos jokios nerekomenduoja? Pvz., Olandijoj visi ekonomistai Mas-Collel skaito. Nežinau, ar ten yra šitas atvejis, bet iš esmės, jei yra pateiktos bendros formulės, tai jau kažką su tuo galima daryti.

Rekomenduoja netgi tris. Bet dėstytojas toks įdomesnis mūsų micro Mėgsta duot ką nors paspręst, kad "pačiaudėtų" visi taip sakant. Bet šiaip gerai, tokį padaręs pakankamai įsigilini ir nemažai sužinai/išmoksti/pagilini žinias.